Panjang Busur Kurva dan Nilai Rata-rata Fungsi

Integral juga bisa dipakai buat menghitung panjang lintasan kurva (busur) dan nilai rata-rata suatu fungsi pada interval tertentu.

1. Rumus Panjang Busur

L = ∫_a^b √(1+[f'(x)]²) dx

2. Contoh Soal Panjang Busur

Hitung panjang busur kurva y=x^3/2 dari x=0 sampai x=1

f'(x) = (3/2)x^1/2, [f'(x)]² = (9/4)x

L = ∫₀¹ √(1+(9/4)x) dx (diselesaikan pakai substitusi u=1+(9/4)x)

3. Rumus Nilai Rata-rata Fungsi

f_rata-rata = (1/(b-a)) × ∫_a^b f(x) dx

4. Contoh Soal Nilai Rata-rata

Tentukan nilai rata-rata dari f(x)=sin x pada interval [0,π]

f_rata-rata = (1/(π-0)) × ∫₀^π sin x dx = (1/π) × 2 = 2/π

5. Interpretasi Nilai Rata-rata

Nilai rata-rata fungsi menunjukkan tinggi persegi panjang yang punya luas sama dengan luas di bawah kurva pada interval yang sama.

Kedua konsep ini (panjang busur dan nilai rata-rata) melengkapi aplikasi integral tentu di luar sekadar menghitung luas dan volume.